1. MIDI機器とピッチベンド
ちょっと高級なMIDI機器には純正律に調律する機能がついているが、機種依存コマンドなのでその機種に対してしか有効でない。ここではGM音源全般で有効なピッチベンドを用いて、純正律を実現することを考える。
たいていのMIDI機器では、ピッチベンド幅の既定値は上下全音（２半音）ずつだろう。そうでない場合は、RPN (Registered Parameter Number) で全音ずつに設定しておく。
Control #101 (RPN M), 0
Control #100 (RPN L), 0
Control #6 (Data Entry), 2
MIDIの仕様上、ピッチベンド値として入力できる値は0から214 - 1 = 16383までだが、たいていのソフトでは内部処理により-8192から8191までの値を入力するようになっている。ここでは8191が全音に対応すると考える。
平均律の周波数をFt、純正律の周波数をFpとおく。log(Fp/Ft) を平均律の全音 (log 2) / 6 で割った 6 log(Fp/Ft) / log 2 が補正比率であり、その8191倍である 49146 log(Fp/Ft) / log 2 がピッチベンド値に入力すべきデータである。
平均律では、log 2を12等分して周波数の対数を求め、その真数から実際の周波数が得られる。従って主音（ド）の周波数を１とすると、その半音 n 個上の周波数 Ft(n)は、次の式で求まる。
Ft(n) = exp[(n/12) log 2]
純正律では、主音に対する各音の周波数比が次のような単純な分数になる。
| 構成音 | 周波数比 |
|---|---|
| Ⅰ | 1 |
| Ⅱ | 9/8 |
| Ⅲ | 5/4 |
| Ⅳ | 4/3 |
| Ⅴ | 3/2 |
| Ⅵ | 5/3 |
| Ⅶ | 15/8 |
これは長音階の場合だから、比較すべき平均律はn={0,2,4,5,7,9,11}である。計算結果は、次のようになる。
| 構成音 | 平均律 Ft |
純正律 Fp |
ピッチベンド値 49146 log(Fp/Ft) / log 2 |
|---|---|---|---|
| Ⅰ | 1.0000 | 1.0000 | 0 |
| Ⅱ | 1.1225 | 1.1250 | 160 |
| Ⅲ | 1.2599 | 1.2500 | -561 |
| Ⅳ | 1.3348 | 1.3333 | -80 |
| Ⅴ | 1.4983 | 1.5000 | 80 |
| Ⅵ | 1.6818 | 1.6667 | -641 |
| Ⅶ | 1.8877 | 1.8750 | -480 |
pure1.midは次のような曲（というほどでもないが）で、１回目は平均律、２回目は純正律になっている。平均律の濁った音を聴き慣れた耳には、純正律はクリアでうなりがないだけに、薄っぺらい感じがする。
3. コードごとの調律
純正律に調律しても、全てのコードが純正になるわけではない。たとえば純正律の第Ⅱ音（レ）は主音（ド）の9/8、第Ⅵ音（ラ）は5/3だから、両者の比は(5/3)/(9/8)=40/27=1.4815で、完全５度の3/2=1.5より小さい。つまり純正律に調律しても、Ⅱm7やⅡ7は全然純正でないことになる。
ここではダイアトニック・コードとセカンダリー・ドミナント７thコード（副属７）について、根音と各構成音の比が純正になるように調整する。目標とするのは、以下のような調律である。短３度は根音の6/5、長３度は5/4、完全５度は3/2、減５度は7/5、短７度は9/5、長７度は15/8に統一する。
| コード | 第３音 | 第５音 | 第７音 |
|---|---|---|---|
| ⅠM7 | Ⅲ; 5/4 | Ⅴ; 3/2 | Ⅶ; 15/8 |
| Ⅱm7 | Ⅳ; 6/5 | Ⅵ; 3/2 | Ⅰ; 9/5 |
| Ⅲm7 | Ⅴ; 6/5 | Ⅶ; 3/2 | Ⅱ; 9/5 |
| ⅣM7 | Ⅵ; 5/4 | Ⅰ; 3/2 | Ⅲ; 15/8 |
| Ⅴ7 | Ⅶ; 5/4 | Ⅱ; 3/2 | Ⅳ; 9/5 |
| Ⅵm7 | Ⅰ; 6/5 | Ⅲ; 3/2 | Ⅴ; 9/5 |
| Ⅶm7(-5) | Ⅱ; 6/5 | Ⅳ; 7/5 | Ⅵ; 9/5 |
| Ⅰ7 | Ⅲ; 5/4 | Ⅴ; 3/2 | Ⅶ♭; 9/5 |
| Ⅱ7 | Ⅳ＃; 5/4 | Ⅵ; 3/2 | Ⅰ; 15/8 |
| Ⅲ7 | Ⅴ＃; 5/4 | Ⅶ; 3/2 | Ⅱ; 9/5 |
| Ⅳ7 | Ⅵ; 5/4 | Ⅰ; 3/2 | Ⅲ♭; 9/5 |
| Ⅵ7 | Ⅰ＃; 5/4 | Ⅲ; 3/2 | Ⅴ; 9/5 |
| Ⅶ7 | Ⅱ＃; 5/4 | Ⅳ＃; 3/2 | Ⅵ; 9/5 |
これを主音（ド）に対する比に変換するには、上の比にそのコードの根音と主音の比を掛ければよい。以下が計算結果である。同じ第Ⅳ音（ファ）でも、ⅣM7の根音としては4/3=1.33、Ⅱm7やⅤ7の構成音としては27/20=1.35、Ⅶm7(-5)の構成音としては21/16=1.31に調律されることになる。第Ⅵ音（ラ）も、本来は5/3=1.67だが、Ⅱm7やⅦm7(-5)のときは27/16=1.69に上がる。主音（ド）でさえ、Ⅱm7やⅡ7では81/80=1.1025と微妙に音程を上げることになる。
| コード | 第３音 | 第５音 | 第７音 |
|---|---|---|---|
| ⅠM7 | Ⅲ; 5/4 | Ⅴ; 3/2 | Ⅶ; 15/8 |
| Ⅱm7 | Ⅳ; 27/20 | Ⅵ; 27/16 | Ⅰ; 81/80 |
| Ⅲm7 | Ⅴ; 3/2 | Ⅶ; 15/8 | Ⅱ; 9/8 |
| ⅣM7 | Ⅵ; 5/3 | Ⅰ; 1 | Ⅲ; 5/4 |
| Ⅴ7 | Ⅶ; 15/8 | Ⅱ; 9/8 | Ⅳ; 27/20 |
| Ⅵm7 | Ⅰ; 1 | Ⅲ; 5/4 | Ⅴ; 3/2 |
| Ⅶm7(-5) | Ⅱ; 9/8 | Ⅳ; 21/16 | Ⅵ; 27/16 |
| Ⅰ7 | Ⅲ; 5/4 | Ⅴ; 3/2 | Ⅶ♭; 9/5 |
| Ⅱ7 | Ⅳ＃; 45/32 | Ⅵ; 27/16 | Ⅰ; 81/80 |
| Ⅲ7 | Ⅴ＃; 25/16 | Ⅶ; 15/8 | Ⅱ; 9/8 |
| Ⅳ7 | Ⅵ; 5/3 | Ⅰ; 1 | Ⅲ♭; 6/5 |
| Ⅵ7 | Ⅰ＃; 25/24 | Ⅲ; 5/4 | Ⅴ; 3/2 |
| Ⅶ7 | Ⅱ＃; 75/64 | Ⅳ＃; 45/32 | Ⅵ; 27/16 |
入力すべきピッチベンド値は、次のようになる。
| コード | 第３音 | 第５音 | 第７音 |
|---|---|---|---|
| ⅠM7 | Ⅲ; -561 | Ⅴ; 80 | Ⅶ; -480 |
| Ⅱm7 | Ⅳ; 801 | Ⅵ; 240 | Ⅰ; 881 |
| Ⅲm7 | Ⅴ; 80 | Ⅶ; -480 | Ⅱ; 160 |
| ⅣM7 | Ⅵ; -641 | Ⅰ; 1 | Ⅲ; -561 |
| Ⅴ7 | Ⅶ; -480 | Ⅱ; 160 | Ⅳ; 801 |
| Ⅵm7 | Ⅰ; 1 | Ⅲ; -561 | Ⅴ; 80 |
| Ⅶm7(-5) | Ⅱ; 160 | Ⅳ; -1197 | Ⅵ; 240 |
| Ⅰ7 | Ⅲ; -561 | Ⅴ; 80 | Ⅶ♭; 721 |
| Ⅱ7 | Ⅳ＃; -400 | Ⅵ; 240 | Ⅰ; 881 |
| Ⅲ7 | Ⅴ＃; -1121 | Ⅶ; -480 | Ⅱ; 160 |
| Ⅳ7 | Ⅵ; -641 | Ⅰ; 1 | Ⅲ♭; 641 |
| Ⅵ7 | Ⅰ＃; -1201 | Ⅲ; -561 | Ⅴ; 80 |
| Ⅶ7 | Ⅱ＃; -1041 | Ⅳ＃; -1197 | Ⅵ; 240 |
pure2.midは次のようなイ短調の曲（というほどでもないが）である。やはり１回目は平均律、２回目は純正律になっている。
