カバラ数とは、出生年月日の各桁を加える操作を繰り返して最終的に得られる１桁の数で、しょうもない数占いに用いられる。カバラ数占いには姓名のアルファベットに与えられた数を用いるものもあり、これと区別するために誕生数、運命数、宿命数などと呼ばれることもあるが、ここではカバラ数で通すことにする。ここで興味があるのは数学的特性だけで、占いについては知ったことではない。

1. カバラ数の定義と性質

　出生年月の最大８桁を合計し、２桁になったら結果が１桁になるまで合計する操作を繰り返す。

　　例．１９８７年６月５日なら、１＋９＋８＋７＋６＋５＝３６、３＋６＝９でカバラ数は９となる。

　本来は１〜９以外に１１と２２を特別視して、これらのゾロ目が現れたら桁ごとに加える操作を中断するものらしいが、それは後回しにして、１桁の数しか認めないバージョンを先に考察する。もう終了したが、日本テレビ系の「お願い！モーニング」で使われていたのはこのバージョンで、モー娘。ファンとしては当然こちらを優先する。

　この場合のカバラ数は、生年月日を６〜８桁の自然数とみなし、それを９で割った余りと同じで、違いは９で割り切れる場合の「余り０」を９と読み替えていることだけである。１０進法で表された自然数の各桁の合計が９で割った余り（＋９の倍数）に一致することは、「九去法」と呼ばれる定理に関連している。

　九去法の定理．任意の自然数の各桁の合計が９の倍数なら、その数は９で割り切れる。

　証明．任意の自然数を N = x₁ + 10 x₂ + 100 x₃ + 1000 x₄ + ... で表す。このとき、

　　　　N = x₁ + (9+1) x₂ + (99+1) x₃ + (999+1) x₄ + ...
　　　　　= (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + ...) + (9 x₂ + 99 x₃ + 999 x₄ + ...)

　第２の( )内は９の倍数で、９の倍数に別の９の倍数を加えた結果も９の倍数である。従って第１の( )が９の倍数なら、Nは９の倍数になる□

　上の第１の( )内をm, 第２の( )内を9nと置けばN=9n+mだから、mを９で割った余りがNを９で割った余りに一致する。それがカバラ数（ただし０は９と読み替える）である。

　九去法のポイントは、各桁が９で割った商と余りに分解できる点で、従って順序に依存しない。たとえば１２３でも３２１でも１３２でも、９で割った余りはいずれも６である。

　また年月日をどこで区切っても、結果は同じである。たとえば１９８７年１２月２５日を１９８と７１２２５のように、上３桁と下５桁に分けたとする。一般に上３桁をx₆ + 10 x₇ + 100 x₈、下５桁をx₁ + 10 x₂ + 100 x₃ + 1000 x₄ + 10000 x₅と表すと、

　　　　上３桁 = (x₆ + x₇ + x₈) + ９の倍数
　　　　下５桁 = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅) + ９の倍数

　ここで(x₆ + x₇ + x₈)を９で割った余りと、(x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅)を９で割った余りを加えると、(x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈)を９で割った余り（＋９の倍数）になる。生年月日をどこで分割しても、いくつに分割しても、最後に問題になるのは全桁の合計(x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + ...)を９で割った余りである。従って生年月日を最初から８桁までの数とみなして桁ごとに加える操作を繰り返した場合と、結果は変わらない。

　さらに１〜９しか認めないバージョンでは、年月日のいずれかに１１、２２が現れた際に桁ごとに加える操作を中断してもしなくても結果は同じである。たとえば出生年の各桁を合計が２２になった（１９６６年、１９７５年、１９８４年など）として、出生月をx₂ + 9m、出生日をx₁ + 9dと表す。ちなみにmは０か１、dは０〜３の範囲にある。ともあれ、この場合のカバラ数は22 + x₂ + x₁を９で割った余り（０は９と読み替える）だが、２２＝４＋９×２だから、これは4 + x₂ + x₁を９で割った余りと同じである。

　以上をまとめると、最終的に１〜９しか認めないカバラ数には次の特性がある。

　�@カバラ数は生年月日の各桁の合計を９で割った余りである。ただし０は９と読み替える。
　�A生年月日の各桁を入れ替えても、カバラ数は変化しない。
　�B生年月日をどこで区切っても、カバラ数は変化しない。
　�C各桁を加える途中でゾロ目を特別視しても、カバラ数は変化しない。

2. 分布

　まず出生年月を無視し、出生日だけのカバラ数を考える。２８日まではどの月にもあり、２８＝１＋９×３だから、ここまででカバラ数＝１は４×１２＝４８回、２〜９は３×１２＝３６回登場する。ここでは閏年以外を想定し、２９日（カバラ数＝２）は年に１１回しかないとする。３０日（カバラ数＝３）も年に１１回、３１日（カバラ数＝４）は７回である。従って出生日のカバラ数の分布は、次のようになる。

　出生月のカバラ数は、１０〜１２月がカバラ数１〜３に対応するので、１〜３が２回出現するのに対し、４〜９は１回しか出現しない。これを出生日に加え９の剰余をとると月日のカバラ数が出る。場合分けがややこしいので、結果だけを示す。

　出生日だけの場合に比べ偏りはかなり緩和されるが、特定年生まれの人のカバラ数にはまだ偏りが残っている。上の表は、出生年のカバラ数が９でしかも閏年でない年（１９９８年，１９８９年，１９７１年，１９６２年，…）にそのまま当てはまる。一般にカバラ数がyの年については、上の表の１が1 + y、２が2 + ｙ、…のようにシフトする。もちろんyを加えた数が９を超えたら、９を引く。閏年ならその年の２月２９日のカバラ数（２０００年２月２９日なら６）の出現頻度を１つ増やせばよい。

　出生年の範囲を広くとるほど、分布は一様分布に近づく。以下は２０世紀生まれ（１９０１年１月１日から２０００年１２月３１日まで、合計３６５２５日）のカバラ数を、VBAでプログラムを書いて数え上げた結果である。

3. ２月２９日生まれのカバラ数

　２０００年が閏年だったため、２０世紀には閏年が２５回あった。つまり２月２９日は２０世紀内に２５日存在するが、そのカバラ数は１と５が２日ずつ、それ以外が３日ずつである。

　閏年は４の倍数という規則性を持ち、そのカバラ数には偏りがありそうに思える。しかし４と９が互いに素であるため、閏年を９で割った余りに偏りはなく、従ってカバラ数も均等に分布する。もし閏年が３年おきや６年おきに出現する暦法があれば、カバラ数は大きく偏るだろう。

4. ゾロ目を特別視する場合

　カバラ数で特別視するのは１１と２２で、ゾロ目でも３３以上は考慮しないらしい。これは年月日を別個に扱う場合、３３以上のゾロ目が生じる可能性がないに等しいためだろう。日は３１まで、月は１２までだから、そのままでは３３に達しない。２桁の合計の最大値は、日では２９日の１１、月の場合は１２月の３で、３３には遠く及ばない。年の場合は、これまで西暦１１年から１１１１年まで１９回ゾロ目が存在したが、次は２２２２年だから２００年以上先である。４桁を足して３３以上になる年は、６９９９年まで来ない。

　最終的に１１と２２を生じる手続きには、いくつかの可能性がある。まず年月日を別個に扱う方法としては、次の３つが区別できるだろう。

　�@１１月、１１日、２２日については２桁を加える操作を行わずに他の数に加える。
　�Aまず各桁を合計し、結果が１１か２２になったらそれを保存して他の数に加える。
　�B各桁の合計が１１か２２になっても保存せず、１桁の数に直してから合計する。

　これらに加えて、年月日を別個に扱わない方法が考えられる。この場合には、３３以上のゾロ目も可能である。

　�C年月日を８桁までの自然数とみなし、各桁を合計する。

　まず�@の場合だが、おそらくこれがカバラ数の正統な出し方と思われる。すなわち１１月、１１日、２２日に対しては、２桁を合計する操作を行わずそのまま保存する。上で使ったプログラムをちょこっと改造し、２０世紀生まれの人のこの手続きによるカバラ数の分布を求めたら次のようになった。

　上述のように、最終的に１〜９しか認めないのであれば、カバラ数はゾロ目を特別視してもしなくても変わらない。従って表4-1の１１と２２は、１〜９しか認めないバージョンではそれぞれ２と４になる。このことは、表2-3と比較すれば直ちに確認できる。

　手続き�Aは、１１月、１１日、２２日に対しても各桁を合計する操作を行う。その結果が１１か２２になれば、それを保存して他の数に加えるという規則である。結果は�@の場合に比べ１１が増え２２が減る。１１の増分の方が大きいので、ゾロ目の合計２３１０＋８３０＝３１４０（８．６％）は、�@の場合の１８７３＋１１１８＝２９９１（８．２％）を上回る。

　手続き�Bは、途中経過では１１，２２を保存せず、最終的に１１，２２になった場合のみ認めるというものである。実はこの場合がゾロ目の頻度が最も大きく、２７１３＋６９３＝３４０６で、全体の９．３％を占める。

　年月日を８桁までの自然数とみなして合計する�Cの手続きでは、３３以上のゾロ目が現れる可能性がある。２０世紀生まれに限れば、各桁の合計の最大値は１９９９年９月２９日生まれの４８だから、４４まで４つのゾロ目を考慮しなければならない。プログラムでこれらのゾロ目の出現頻度を数え上げてみたら、３３が意外に多かった。しかしゾロ目の合計は３４＋１２９８＋１９２２＋６５＝３３１９（９．１％）で、�Bの場合を下回る。

　この方法では１１がえらく少なくなるが、２０００年以外で１１が不可能なことによる。１９９９年まででは上２桁の１＋９で既に１０に達し、残りの桁の合計を１以下にできないためである。４４になるためには、年４桁の合計が２４以上でなければならない。これを満たすのは１９５９年、１９６８〜６９年、１９７７〜７９年、１９８６〜８９年、１９９５〜９９年の１５年しかない。

　このように手続き�@〜�Cによって、カバラ数は異なる。しかし３３以上のゾロ目を認める流派はおそらく存在しないだろうから、カバラ数が２と４の人以外は、カバラ数は計算法に依存しないと考えてよいだろう。その場合、１１と２２はそれぞれ２と４から派生したと考えるべきである。この関係を重視するなら、２と１１、４と２２の人の間に類似性がなければならない。

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