math - Renzai の日記

□ 恒等式―数値代入法，十分性の確認は不要のはず [math]

（句読点をコンマ・ピリオドで書いてみました．数学のノートは いつもコンマ・ピリオドなので）

学校の授業で恒等式を扱った．しかし問題の解法に妙な点があり， どうも，それは（結構）大事なところに関わっているようだった． で，そのことについて友人と議論していて，結局友人が結論に 辿りついた．

まず，恒等式についておさらい：

定義　等式が任意の値の x について成り立つとき， その等式を x についての恒等式という．

定理1　x についての整式 P, Q がある． このとき，

P = Q が恒等式である ⇔ P, Q の同次の項の係数は等しい．

さて，恒等式の練習問題に次のようなものがある：

等式 2x + 3 = (a + b)x²  - (a - c)x - c がx についての 恒等式であるように，定数 a, b, c の値 を定めよ．

この問題の定番解法は，ふたつある．

ひとつは，未定係数法．定理1により，等式が恒等式 であるとき，左辺と右辺で，同次の項の係数は等しい．このことから a, b, c の連立方程式をたてて解く，という 方法である．

もうひとつの数値代入法が，今回のテーマである．数値代入法 を用いた一般的な答案は，次のような流れになる．

(1)必要条件を求める：与えられた n 次の等式が恒等式であるなら ば，任意の値の x について成り立つ．このことから，等式に (n + 1) 個の異なる値の x を代入し， a, b, c の連立方程式をたてて，解く．

(2)十分性の確認：得られた a, b, cを与えられた 等式の左辺に代入する．左辺と右辺で，同次の項の係数が等しいことを 確認する．

ここでいくつかの疑問が湧く：なぜ (n + 1) 個なのか．なぜ (2) のステップが必要なのか．

おそらく，(n + 1) というのは，次の定理に基づいている と思われる．これは教科書にも載っている定理である：

定理2　P, Q は x についての高々 n 次の整式 である．P = Q が異なる (n + 1) 個の値の x について 成立するならば，P = Q は　x についての恒等式である （「ことが知られている」―教科書）．

(2)のステップはなぜ必要なのだろうか．これについては，普通次のような 説明がなされる：

異なる (n + 1) 個の値の x について等式が成り立つ ことを確認しただけで，ほかの値の x についても成り立つか どうか，分からない．だから，得られた定数の値を等式に代入して， 左辺と右辺で，同次の項の係数が等しいことを確認する．

ところが，定理2によれば，異なる (n + 1) 個の値の x に ついて成立するならば，x についての恒等式である，と言い切れる ではないか．ついでに言うと，x についての恒等式であるならば， 恒等式の定義により，異なる (n + 1) 個の値の x について 成立するのは自明である．よって，この2条件は同値である．

したがって，数値代入法のステップは要らないことが分かった．

数値代入法における（不要な）十分性の確認は，いろいろな本に載って いる．また，定理2もいろいろな本に載っている．

「赤チャート」では，「十分性の確認をしてもよいし，『定理2により 等式は恒等式である』という意味のことを書いてもよい」というふうに なっていて，よく分からない（後者に言及している点では 評価できるけれど）．

でも，教科書にも載っている定理で，それが要らないことが示せ る．これって，どういうことなんだろう．

□ 『高数＋α』第8章読了 [math]

宮腰忠『高校数学＋α: 基礎と論理の物語』(共立出版、2004年)  (著者のサイト) の第8章「空間ベクトル」を読了。年内に終える予定だったのだが、 翌年の元日までかかってしまいました。

□ 年越し企画―アポロニウスを偲ぶ [math]

宮腰忠『高校数学＋α: 基礎と論理の物語』(共立出版、2004年)  (著者のサイト)。 第7章「平面ベクトル」を読み終え、第8章「空間ベクトル」 を読んでいる。割と速いペースで。

ベクトルの勉強を始める段階では、幾何ベクトルと数ベクトルは別の体系で ある、ということを理解するのが重要だと思う。幾何ベクトルは、 大きさと向きを持つ量のこと（大きさとは何？　向きとは？　 自問してみよう）。数ベクトルは、数の組合せ。それらを繋ぐのが座標平面。

教科書などでは、成分表示は幾何ベクトルを座標平面に描く手段、といった 扱いで、分かりにくくなっている（実際、 『＋α』 を読むまで頭の中がスパゲッティだった）。

さて、円錐面のを平面で切った切り口は円・楕円・放物線・双曲線になる。 ギリシアの数学者アポロニウスは、コンパスと定規だけでそれを研究した という。

興味をもった人はこのことを確かめることによって，偉大な先人を偲びま しょう．

というわけで、大晦日特別企画「アポロニウスを偲ぶ」。

円錐面を平面で切る、という操作を方程式で表現するには (i) z 軸を回転軸に円錐面をとって、平面を傾ける、(ii) 平面を z = 0 で固定し、円錐を傾ける、という2通りの方法がある。今回は 『＋α』 にある通り、(ii)の方法でいく。

円錐面の方程式を作り、z = 0 を代入。切り口の方程式ができる。 三角関数がたくさん。どうも、一般的な角について示すのはたいへ んと見えるので、角度は具体的な値で計算することにした。

角度の値を代入する。……なんとか4通りできた。 よかったよかった（これで安心してちゃ駄目だけど）。

今回得た知見：双曲線の方程式を (x² / a²)  - (y² / b²) = k としたとき、右辺の k は負になることがある。式の立て方によって。

□ 定義ということ／存在とは何か [math]

『高校数学＋α』第6章 「指数関数・対数関数」を読み終えた。

最も考えたのは、§§6.1.1.2「有理数の指数」。指数を自然数から有理数 に拡張する手続き。

はじめ、自然数指数は掛ける回数として定義される。そこから ごく当たり前のように、指数法則が導ける。

そして、指数法則をもとに有理指数を定義する。より正確にいうと、 指数法則に合うように、有理指数を定義する。さらにそこから、 極限値（まだきちんと勉強していないが）としての無理指数が定義できる。

高いところから見ると、指数法則を満たす2変数関数 y = a^x を指数関数と定義する、 ことも可能かも。

定義する、というのがポイントかもしれない。

a^m/nはこういう「値をとる」、というその 「値」は、単に実数、私たちが大小を想像できる値、にすぎない。思考範囲 を複素数に広げれば大小関係はない。私たちが抱く「実際の値」の イメージは、(たとえば、実数直線に表せる、といった)意外と狭いものなの かもしれない。

かつて、負数は嘘の数、複素数は思弁的な数、であった。「実際に存在する」 とか「こういう意味を持つ」という直感的・直観的イメージは、それは それで大切なのかもしれないけれども、広い思考を妨げ、私たちを狭い範囲 に規定することもあるのだろう。

それよりも、これはこうだ、と定義することが大切なのではない か。任意の正数aに対しa + b = 0となるbが存在する、 として負数bを定義する。i² = -1により虚数単位 iを定義する。そしてそれらは、(私たちが満たしてほしいと願っ ている)計算規則を満たす。私たちはその定義に基づいて、再び歩き出す。

『高校数学＋α』第6章を読む前後に "Mathematics (Very Short Introductions)" を読んでいた。去年の今頃読んだときには Chapter 1 の途中で挫折して しまったのだが、今は辞書なしでも（分からない単語はあるけれど） 読める。

全部は読んでいないが、Chapter 2 Numbers and Abstraction はかなり 面白いし、本質的。Abstract Method という attitude を紹介 している。いくつかの公理を用意した上で、数の範囲を自然数から負数、 分数、複素数と広げていく。それらの「本来の意味（具体的イメージ）が何で あるか」とか「本当に存在するのか」ということも、それらの定義の仕方、 公理を満たすかどうか、を考える（先ほど述べたように）。

指数を自然数から有理数へ拡張する節では、2^3/2を 「2を3/2回かける」と意味づけるのは不可能であることを確認し、

What is the abstract method for dealing with a problem like this? Once again, it is not to look for intrinsic meaning - in this case of expressions like aⁿ  - but to think about rules.

NOTE: intrinsic - (of value, quality) belonging naturally.

（強調・註はRenzai）

と述べる。

a mathematical object is what it does.(強調は本の著者)

ともいう。数学のものが「存在する」とは 「(定義された通りに)ふるまう」ということ、といった意味か。

「存在する」という感覚、その曖昧さ。何をもって「存在する」と言う ことができるのか。

いくつかの公理、つまり理屈なしで成立するとされる事柄を設定する。 それに基づき当たり前のように導けるいくつかの定理が存在する。 しかしそれだけでは扱える範囲は狭い。だから新たにこれこれこういうものを 定義する。その際、私たちが慣れ親しんでいる公理を満たすように要請する。 こうして、扱う世界が広がる。

数学において「存在する」ということは、私たちが定義するということ なのだろう、たぶん。そう考えると、数学は私たちが作り上げていくのだ、 といえるかもしれない。

数学以外では？　それが「存在する」とは、私たちが 「存在する」とは、どういうことなのだろうか？

□ 『高校数学+α』第5章を読み終えた [math]

『高校数学＋α』第5章「平面図形 と方程式」を読み終えました。

図形の変換では(大雑把にいうと)変換前の図形が大切ということを 身をもって体感。倍変換・回転変換・y = x に関する折り返 しなどを通じて。

楕円の焦点の一方を無限遠に飛ばすと放物線になる、というのも楽しかった。 グラフが円や楕円のように閉じているか、放物線のように開いているか、 という違いはどこに現れるのだろう。双曲線の漸近線の話でも無限を扱った けれど、無限というものの扱いについてはもっと考えなければならない。

パラメータ表示の存在を知った。その意味や位置づけについて、 どこかパッとしていない。

□ 後は倍角 [math][joke]

学校で、短歌を三首書いて提出しなければならない。締切に遅れてしまった 友人が、数学の試験の後慌てて

正弦で　サインを出して　コスを出す

とまで書いたはいいが、下の句が思い浮かばない。

正弦で　サインを出して　コスを出す　最後は二人で　タンジェント

サインをコサインで割ってタンジェントを求める、ということを表現 したのだが、読んでも意味が分からない。正弦と来たからには余弦定 理を使ってみたいが、どうしようもない。

結局、

正弦で　サインを出して　コスを出す　後は倍角　サイン2シータ

となった。

□ ルソー展と陣取りゲーム・クイズ、誤っていた [math]

ルソー展と陣取りゲーム・クイズに挑戦して みました。

補足 (2006-10-21)

友人から誤りを指摘されました。3マスの盤面でも、以下のようにすれば 先手(A)必勝となります。

□□□　→　□Ａ□　→　ＢＡ□　→　ＢＡＢ　→　Ａの勝ち
あるいは
□□　　→　Ａ□　　→　ＡＢ　　→　ＡＢ　　→　Ａの勝ち
□　　　　　□　　　　　□　　　　　Ａ
※2バイト英字を使用したことをお断りしておきます。また、アスキー
アートのためずれて表示されてしまう可能性があります。

先攻の最初の1手が1マスか2マスか、で場合分けしたのですが、 残りのマスが何マスか、だけではなく、それらのマスがどのよう な配置か、ということも考慮しなければならないみたい。

考え直します。

さらに補足

解答編が 公開されました。

前提

将棋盤(9×9のマス目を持つ盤)を使って二人が陣取りゲームをする。 自分の番になったとき、空いているマス目（自分の陣地でも相手の 陣地でもないマス目）の中からいくつか選んで「自分の陣地」にする ことができる。一度に自分の陣地にできるのは、「1個」か「隣り合っ た2個」のいずれかである。隣り合った2個は縦の2個でも横の2個でも よい。パスはできない。自分の番になったとき空いているマス目が ひとつもなかったら負け。

問題

この陣取りゲームは、以下のうちどれか。

(A)先手必勝　(B)先手必敗　(C)いずれでもない

解答 - (B)先手必敗、すなわち後手必勝 (のはずです…)

先手をAとし、後手をBとします。

「…いま、小さい盤面で試してるところれふ」

という元気少女の忠告に従って、小さい盤面から少しずつマス数を増やして いって考えます。

(i) 盤が1マスの場合

• Aが1マス取って、先手必勝。

(ii) 盤が2マスの場合

• Aが2マス取って、先手必勝。

(iii) 盤が3マスの場合 - 以下のように、より小さい盤に話を 持っていけるように考えます。場合分けの仕方としては 階段の上り方クイズ (フィボナッチ数列の漸化式)に近い かもしれません ((a)と(b)が網羅的、排他的分割であることに 注意せよ)。

• (a) 第1手でAが1マス取った場合: 盤上には2マス残る。つまり、(ii)の 状態をBから始める。(ii)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• (b) 第1手でAが2マス取った場合: 盤上には1マス残る。つまり、(i)の 状態をBから始める。(i)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• Aがどのような手を取っても後手必勝なので、後手必勝。

(iv) 盤が4マスの場合

• (a) 第1手でAが1マス取った場合: 盤上には3マス残る。つまり、(iii)の 状態をBから始める。(iii)は後手必勝だから、全体としてはAの勝ち。
• (b) 第1手でAが2マス取った場合: 盤上には2マス残る。つまり、(ii)の 状態をBから始める。(ii)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• Aは第1手で1マス取っても2マス取ってもよいので、1マスとって勝 てばよい。よって先手必勝。

(v) 盤が5マスの場合

• (a) 第1手でAが1マス取った場合: 盤上には4マス残る。つまり、(iv)の 状態をBから始める。(iv)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• (b) 第1手でAが2マス取った場合: 盤上には3マス残る。つまり、(iii)の 状態をBから始める。(iii)は後手必勝だから、全体としてはAの勝ち。
• Aは第1手で1マス取っても2マス取ってもよいので、2マスとって勝 てばよい。よって先手必勝。

(vi) 盤が6マスの場合

• (a) 第1手でAが1マス取った場合: 盤上には5マス残る。つまり、(v)の 状態をBから始める。(v)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• (b) 第1手でAが2マス取った場合: 盤上には4マス残る。つまり、(iv)の 状態をBから始める。(iv)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• Aがどのような手を取っても後手必勝なので、後手必勝。

ここまで、勝者は先手、先手、後手、先手、先手、後手と並んでいます。

• 盤が7マスのときは(iv)と同様にして先手必勝、
• 盤が8マスのときは(v)と同様にして先手必勝、
• 盤が9マスのときは(iv)と同様にして後手必勝、
• ...
• 盤が3n-2マスのときは先手必勝 (nは自然数)、
• 盤が3n-1マスのときは先手必勝、
• 盤が3nマスのときは後手必勝

となります。9×9将棋盤のマス数81は3の倍数ですから、 後手必勝。

m×nマスの場合、mまたはnが3の倍数 であれば後手必勝、それ以外は先手必勝。

骨子

まず、盤が1マスのとき先手必勝、2マスのとき先手必勝 ――これは

一度に自分の陣地にできるのは、「1個」か「隣り合っ た2個」のいずれかである

という前提から来ています。

盤が3マスのとき。Aの第1手が1マスか2マスか、という点で 場合分けをして、より小さい盤に話を持ち込む。先手が 取った後の盤面でともに先手必勝だから、後手必勝。

4マスのとき。先手が取った後の盤面で一方は先手必勝、 一方は後手必勝。Aは好きな方を選べるから、先手必勝。

5マスのとき。先手が取った後の盤面で一方は先手必勝、 一方は後手必勝。Aは好きな方を選べるから、先手必勝。

ここまでやれば、話が繰り返すということが言えるかな。

反省など

• 3時間くらいかかりました。これじゃあアイスクリームが 融けてしまいます。
• 最初のうち、ゲーム最後の数マス（79マス、80マス、81マス目） がどういう動きをするか考えていたのだが、なかなか分からない。 小さいマスで実験してみる方法を利用して、「盤面そのものを 小さくすればいいんだ」と考えついた。 実は最初「1マス、2マス、3マス、…と増やしていけばいい かも」と感じたのだが、無視してしまったのですね。

□ 『高校数学+α』 [math]

平面図形と方程式。(sinx)(siny)≧0 の示す領域を xy平面上に表す問題。xy平面が綺麗だなあと思った のはこれが初めてだったかもしれない。

□ 高校数学+α [math]

• 『高校数学+α』

第5章「平面図形とその方程式」に入る。直線と曲線の接線の話、円の方程式。 これを読むのは1ヵ月ぶりくらいで、楽しい。

□ 論理その他 [math]

学校の数学の授業が「論理と集合」に入るみたいなので、 結城浩『プログラマの数学』(ソフトバンクパブリッシング, 2005年) で論理の話を読んだ。

□ 森毅『数学受験術指南』 (中央公論社) [book][math]

• 森毅『数学受験術指南』 (中央公論社)

名前とは裏腹に、かなり軽めの本。鬼軍曹的猛勉強より、賢く勉強 する方法を推奨。まあ、受験技術としてはご参考に、っていう程度。

でも、数学との付き合い方という点ではとても面白い。数学と仲良くなっておこ う。

また、受験数学以前は趣味の数学もいいね、と。僕の場合は『高校数学＋α』 かな。

ただ、そうした(趣味の数学への)欲求が、受験期に重なると困る。 学校の数学や受験勉強がアホラシク思えて、べつの道へ突き進みたくなる。 そうならないように、そうした経験は早い目にすませていおいたほうがよい。

ワキミチへ入ってみることで、数学とのつきあい方をおぼえる、そんなことも、 あるものである。(『数学受験術指南』p.69 より)

というわけで、頑張って1年間で『高校数学+α』を読み終わりたいと思います。 そうして、

• 数学ガールシリーズを 重要なところまで読めるようになること
• Euler の公式を理解できるようになること

が目標なのです。

□ 藤原正彦『心は孤独な数学者』 (新潮社) [book][math]

• 藤原正彦『心は孤独な数学者』 (新潮文庫)

□ 『高校数学+α』読み進め [math]

• 『高校数学+α』

三角関数の最後の方まで。今日は加法定理とそれにまつわる公式類 をやっていた。行列や複素平面の話をやったら、また来たい。

あとはサインカーブの合成の話に取り組めば第4章終了。

□ 階段の上り方クイズ [math]

ふっと思い出したので、やってみた。

• 階段の上り方クイズ - 結城浩の日記

問題:

15段の階段があります。階段を一段づつ上ってもOK、 一段飛ばしで上ってもOKとして、この階段の上り方が何通りあるか答えなさい。

確かこの問題、東京出版の『1対1対応の演習』にも超有名問題として載っていた よね (立ち読みしただけだけど)。

で、案外さっくり、10分くらいで解けてしまった。 ありゃ、でも結城さんの答えを見たら、N = 1, N = 2, N ≧ 3で場合分けしてるなあ(Nは階段の段数、 N∈Z)。私は N = 0, N = 1, N ≧ 2でやっ たのだけれど。ちょっと考えてみようか。

で、漸化式(= Fibonacci 数列の漸化式) まできて、あとは一般項だよね、ミル カさん。

□ 数学 [math]

『高校数学＋α』、 第3章(関数)はもう少しで終わりそう。黄金週間で 第4章(三角関数)の半分くらいを読めたらいい。

□ テトラちゃんとハーモニック・ナンバー [math][think]

• テトラちゃんとハーモニック・ナンバー

結城浩さんの数学ガールシリーズ第6作。

印刷して読んでみた (今までは全部モニターで見ていた) 。 「僕」とテトラちゃんの対話あたりは何とか式を追えるけど、 ミルカさんの話は、微積を知らないのであまり読めなかった。 あちゃちゃ。

正の無限大に発散するか、ある実数に収束するか。すげー面白い んだなと思いつつ。感覚的なものだけど。これからちゃんと 勉強していきます。発散とか、収束とか、言葉からして、 美しい感じ。

数学もピアノもできるミルカさん。いいなぁ。で、最近は再び ヘンデルのパッサカリアを聴くようになりました。ドリカムも 聴くね。10年以上前の曲だけれど。

そういえば、学校では場合の数の話が始まりました。で、 ミルカさんとコンボリューション を思い出したり。二項定理の話。分けっこ。

うーん、文章の語尾がなんか変なのは、古文の授業で 枕草子の講読をやっているから?

□ 『高校数学+α』読み進め [math]

• 宮腰忠『高校数学＋α：基礎と論理の物語』(共立出版)
• 大学数学へのかけ橋!『高校数学＋α：基礎と論理の物語』(著者の運営するサイト)

第 2 章が終わり、第 3 章に入った。目指せ、年内読破。できるかなぁ。

□ 高校数学＋α [math]

宮腰忠『高校数学＋α：基礎と論理の物語』(共立出版) を読み進めていま す。

Euclid の互除法、Fermat の小定理、RSA 公開鍵暗号。今日、第 1 章を読了、 第 2 章の Cardano の 3 次方程式の話あたりまで行った。RSA 暗号は実際に小 さい数で試してみて、うまく暗号化・解読できて感動。

いやあ、おもしろい。式変形が適度に省略されていて、自分で考える余地が残さ れてて、イイ。ノートと万年筆片手に読んでます。本にも少し鉛筆で書き込み。

単に本から引き写すんじゃなくて、式変形の間がどうなってるとか、なんでこ ういう条件が必要なのかとか、こう言えるのはなぜかとか、多少うっとうしいく らい、補って書く。

たしかに「証明は追えたけど、いまいち意味がよく分からん」なんていうところ もあるけれど、読み進めていくのにどうしても必要な内容じゃなかったら、それ はそれで置いておくこともある。

合同式をやっていて考えさせられたのは、「定義にたちかえれ」  (G.ポリア『いかにして問題をとくか』(丸善) だったかな) ということ。この本とは関係なく、数 A の平面図形 (Menelaus の定理、 Ceva の定理とか、三角形の五心とか) もやっていたことも関係あるのだろうけ れど。合同式だったら

x ≡ y (mod m) ⇔ x = y + mk を満たす  k ∈Z が存在する

というのが定義なのだけれど、これは Fermat の小定理でも、あと合同式自身 の性質 (和・差・積・商の定理など) の導出にも使う。

あと、イメージも重要だと思う。合同式の僕なりのイメージは、整数を  mod mに関して余り 1, 2, 3, ... , m-1 で分類 した表。縦の列も横の行もどちらも大切。

この春休み、一番楽しかったのは、数学だった (「愉しい」を越えて「楽しい」 思い出だった)。ほんとに。

□ 宮腰忠『高校数学+α：基礎と論理の物語』(共立出版) [book][math]

• 宮腰忠『高校数学＋α：基礎と論理の物語』(共立出版)
• 『高校数学＋α：基礎と論理の物語』サポートページ

現在第1章を読解中。鉛筆片手に本に書き込んだり、証明し直したり。学校の授 業では「自明」と触れられないことにも、ちゃんとした理由があるということが よく分かります。式と式の間が適度に省略されており、自分で考える部分が残さ れているので、考えながら楽しめます。

□ 高校数学関係のリンク [math]

• 大学数学へのかけ橋！『高校数学＋α：基礎と論理の物語』
• Amazon.co.jp：高校数学＋α：基礎と論理の物語
• 基礎からの高校数学

□ ブラマグプタの公式を証明してみた [math]

数学の時間、円に内接する四角形の面積を求める問題があった。そういえば、これを一発で求める長い名前の公式があったな、ヘロンの公式と似てたな、と思って、証明してみることにした。

要した時間は約50分。ポイントは、四角形の向かい合う内角の大きさの和が180°になるという点。0≦ θ ≦180のとき、sinθ = sin(180 - θ), cosθ = -cos(180 - θ) となる。

四角形を対角線で2つに分ける。対角線の長さを2つの三角形で余弦定理を用いて2通りに表し、等式を作る。cosθ = ...の式ができるから、sinθ = √(1-cos²θ)によってsinθの値を求めればよい。

このsinθの因数分解がもっとも時間のかかったところ。4つの文字(各辺の長さ)の因数分解には慣れていない。全部ばらばらにしてみたり、いろいろやってみて、結局シンプルに和と差の積で行けば(-a + b + c + d)とか(a - b + c + d)とかの項が出てきて、「おっ、これはいけるかも」と気づく。

そして最後に三角形の面積の式: S = 1/2(bc×sinA) を三角形2つ分足したものに、sinθを代入。うまいこと文字が消え、分母が4に。ルートの中に入れると16。16=2×2×2×2で4つの項に2を配分し、s = (a + b + c + d)/2とすれば、S = √((s - a)(s - b)(s - c)(s - d''))が出る。

やっぱ楽しいよね。こういうのは。自分で証明した公式には愛着が湧く。腹を痛めて生んだ子、ではないけれど。

• ヘロンの公式、二項定理 [2006-01-23-1]…今週はいろんなものを考えてみたのでした。
• ブラマグプタの公式

□ ヘロンの公式、二項定理 [math]

• ミルカさんとコンボリューション 結城浩さんの「数学ガール」シリーズ新作。

ざっと読む。難しいなぁ。でもまぁ、ストーリーがとても楽しかったし。

触発されて、昨日覚えたての三角比で、ヘロンの公式の証明をやる。数ヶ月前、ピタゴラスの定理でヘロンを証明したときは1時間くらいかかったのだけれど、S = (bcsinA)/2 と余弦定理を使えばものの数分でできてしまった。やっぱヘロンの証明の醍醐味は、分母を16 = 2×2×2×2 で分割するところだろうか。ここまで来るともうすぐ終わるんだ、という感じがする。

やっぱり気になったので、(x + y)ⁿ の一般化を自分でやってみる。_kC_n か…(kとnを逆にして考えていた)。場合の数は中2の冬にやった以来。袋から球を取り出す問題で _kC_n の求め方を思い出す。なるほど。で、できた。紙の余白にパスカルの三角形を書いてみる。見事! Σを使うとこうなるのね。n = 0のときからkのときまでで、足していく。Σに親近感を持てた。

最後に残ったのが、0!=1 の定義。どうしてこう決めるのか。そういえば「階乗の再帰的定義」、『プログラマの数学』にそういう話題があったかも。

• 結城浩『プログラマの数学』
• 追記:[2006-01-29-1]ブラマグプタの公式を証明してみた

□ 数学やる [math]

[CHT]の因数分解と展開をやっていた。明日は時間があればルートの計算をやる予定。

□ 理数ナイト [math]

今晩は、物理と数学をやっていた。 物理は基本公式の証明、何もないところから(理科事典の補助を15秒くらい借りて)できた。 数学は問題プリント。楽しい!

テトラちゃんと相加相乗平均を読んで以来、楽しく取り組んでいる。

きょうは充実した一日でした。風呂上がりの冷たい牛乳がおいしい。

□ テトラちゃんと相加相乗平均 [math]

テトラちゃんと相加相乗平均 (リンク先のページでPDFファイルとして読める)

ミルカさんシリーズの第4弾。 「相加相乗平均」っていう言葉は難しそうだけれど、数式は中学生でも全然問題ない。

テトラちゃんが、ルートを含むの式の条件付け(正か負か、ゼロを含むか)でヘマしたり、っていうのは実感として分かる。 数式以外の「僕」と「テトラちゃん」の対話も愉しい。

僕は、自分の好きなことをしているだけなんだよ。好きなことに時間を使う。 好きなことに手間暇かける。誰でもそうだよね。深く、深く、考えていたい。 ずっと、ずっと、思っていたい。好きってそういう気持ちでしょう？

好きなことに時間を使う。大切だよなぁ。ネットサーフィンより愉しいことは、たくさんあって、すぐにできる。

関連記事: [2006-02-01-1] [2005-11-20-1]

□ 数学の問題 [math]

GigiがPCで解いた 数学の問題：

n⁴ + 5n² + 4が3600の倍数になる2桁の自然数nをすべて求めよ

を、自力で解きました! 超うれしい。 というわけで、いつもなら丸めてゴミ箱に捨ててしまう反故メモを並べてみようと思います。なんとなく。 以下の画像をクリックすると拡大画像を表示します（読み込みに時間がかかるかもしれません）。 また、答えの手がかりがかいてあるから、この問題を解いている途中の人は見ない方がいいと思います。

っていうか、これって雑誌「高校への数学」の懸賞問題だったんですね。知らなかった。 来月からやってみよっかな。