2007-01 月の Renzai の日記

□ 恒等式―数値代入法，十分性の確認は不要のはず [math]

（句読点をコンマ・ピリオドで書いてみました．数学のノートは いつもコンマ・ピリオドなので）

学校の授業で恒等式を扱った．しかし問題の解法に妙な点があり， どうも，それは（結構）大事なところに関わっているようだった． で，そのことについて友人と議論していて，結局友人が結論に 辿りついた．

まず，恒等式についておさらい：

定義　等式が任意の値の x について成り立つとき， その等式を x についての恒等式という．

定理1　x についての整式 P, Q がある． このとき，

P = Q が恒等式である ⇔ P, Q の同次の項の係数は等しい．

さて，恒等式の練習問題に次のようなものがある：

等式 2x + 3 = (a + b)x²  - (a - c)x - c がx についての 恒等式であるように，定数 a, b, c の値 を定めよ．

この問題の定番解法は，ふたつある．

ひとつは，未定係数法．定理1により，等式が恒等式 であるとき，左辺と右辺で，同次の項の係数は等しい．このことから a, b, c の連立方程式をたてて解く，という 方法である．

もうひとつの数値代入法が，今回のテーマである．数値代入法 を用いた一般的な答案は，次のような流れになる．

(1)必要条件を求める：与えられた n 次の等式が恒等式であるなら ば，任意の値の x について成り立つ．このことから，等式に (n + 1) 個の異なる値の x を代入し， a, b, c の連立方程式をたてて，解く．

(2)十分性の確認：得られた a, b, cを与えられた 等式の左辺に代入する．左辺と右辺で，同次の項の係数が等しいことを 確認する．

ここでいくつかの疑問が湧く：なぜ (n + 1) 個なのか．なぜ (2) のステップが必要なのか．

おそらく，(n + 1) というのは，次の定理に基づいている と思われる．これは教科書にも載っている定理である：

定理2　P, Q は x についての高々 n 次の整式 である．P = Q が異なる (n + 1) 個の値の x について 成立するならば，P = Q は　x についての恒等式である （「ことが知られている」―教科書）．

(2)のステップはなぜ必要なのだろうか．これについては，普通次のような 説明がなされる：

異なる (n + 1) 個の値の x について等式が成り立つ ことを確認しただけで，ほかの値の x についても成り立つか どうか，分からない．だから，得られた定数の値を等式に代入して， 左辺と右辺で，同次の項の係数が等しいことを確認する．

ところが，定理2によれば，異なる (n + 1) 個の値の x に ついて成立するならば，x についての恒等式である，と言い切れる ではないか．ついでに言うと，x についての恒等式であるならば， 恒等式の定義により，異なる (n + 1) 個の値の x について 成立するのは自明である．よって，この2条件は同値である．

したがって，数値代入法のステップは要らないことが分かった．

数値代入法における（不要な）十分性の確認は，いろいろな本に載って いる．また，定理2もいろいろな本に載っている．

「赤チャート」では，「十分性の確認をしてもよいし，『定理2により 等式は恒等式である』という意味のことを書いてもよい」というふうに なっていて，よく分からない（後者に言及している点では 評価できるけれど）．

でも，教科書にも載っている定理で，それが要らないことが示せ る．これって，どういうことなんだろう．

□ 川端康成『伊豆の踊子・温泉宿 他四篇』 [book]

川端康成『伊豆の踊子・温泉宿 他四篇』（岩波文庫）を読む。 大正から昭和初期の、ほのかな旅情がいい。

□ 夏目漱石『夢十夜』 [book]

夏目漱石『夢十夜』（青空文庫）を読む。 不思議な感じがいいなあ。

□ 明けました、おめでとうございます（グレゴリオ暦）

　正月一日は、まいて空のけしきもうらうらと、めづらしうかすみ こめたるに、世にありとある人は、みなすがたかたち心ことにつく ろひ、君をも我をもいはひなどしたる、さまことにおかし。

― 『枕草子』

□ 『高数＋α』第8章読了 [math]

宮腰忠『高校数学＋α: 基礎と論理の物語』(共立出版、2004年)  (著者のサイト) の第8章「空間ベクトル」を読了。年内に終える予定だったのだが、 翌年の元日までかかってしまいました。