2006-11 月の Renzai の日記

□ 定義ということ／存在とは何か [math]

『高校数学＋α』第6章 「指数関数・対数関数」を読み終えた。

最も考えたのは、§§6.1.1.2「有理数の指数」。指数を自然数から有理数 に拡張する手続き。

はじめ、自然数指数は掛ける回数として定義される。そこから ごく当たり前のように、指数法則が導ける。

そして、指数法則をもとに有理指数を定義する。より正確にいうと、 指数法則に合うように、有理指数を定義する。さらにそこから、 極限値（まだきちんと勉強していないが）としての無理指数が定義できる。

高いところから見ると、指数法則を満たす2変数関数 y = a^x を指数関数と定義する、 ことも可能かも。

定義する、というのがポイントかもしれない。

a^m/nはこういう「値をとる」、というその 「値」は、単に実数、私たちが大小を想像できる値、にすぎない。思考範囲 を複素数に広げれば大小関係はない。私たちが抱く「実際の値」の イメージは、(たとえば、実数直線に表せる、といった)意外と狭いものなの かもしれない。

かつて、負数は嘘の数、複素数は思弁的な数、であった。「実際に存在する」 とか「こういう意味を持つ」という直感的・直観的イメージは、それは それで大切なのかもしれないけれども、広い思考を妨げ、私たちを狭い範囲 に規定することもあるのだろう。

それよりも、これはこうだ、と定義することが大切なのではない か。任意の正数aに対しa + b = 0となるbが存在する、 として負数bを定義する。i² = -1により虚数単位 iを定義する。そしてそれらは、(私たちが満たしてほしいと願っ ている)計算規則を満たす。私たちはその定義に基づいて、再び歩き出す。

『高校数学＋α』第6章を読む前後に "Mathematics (Very Short Introductions)" を読んでいた。去年の今頃読んだときには Chapter 1 の途中で挫折して しまったのだが、今は辞書なしでも（分からない単語はあるけれど） 読める。

全部は読んでいないが、Chapter 2 Numbers and Abstraction はかなり 面白いし、本質的。Abstract Method という attitude を紹介 している。いくつかの公理を用意した上で、数の範囲を自然数から負数、 分数、複素数と広げていく。それらの「本来の意味（具体的イメージ）が何で あるか」とか「本当に存在するのか」ということも、それらの定義の仕方、 公理を満たすかどうか、を考える（先ほど述べたように）。

指数を自然数から有理数へ拡張する節では、2^3/2を 「2を3/2回かける」と意味づけるのは不可能であることを確認し、

What is the abstract method for dealing with a problem like this? Once again, it is not to look for intrinsic meaning - in this case of expressions like aⁿ  - but to think about rules.

NOTE: intrinsic - (of value, quality) belonging naturally.

（強調・註はRenzai）

と述べる。

a mathematical object is what it does.(強調は本の著者)

ともいう。数学のものが「存在する」とは 「(定義された通りに)ふるまう」ということ、といった意味か。

「存在する」という感覚、その曖昧さ。何をもって「存在する」と言う ことができるのか。

いくつかの公理、つまり理屈なしで成立するとされる事柄を設定する。 それに基づき当たり前のように導けるいくつかの定理が存在する。 しかしそれだけでは扱える範囲は狭い。だから新たにこれこれこういうものを 定義する。その際、私たちが慣れ親しんでいる公理を満たすように要請する。 こうして、扱う世界が広がる。

数学において「存在する」ということは、私たちが定義するということ なのだろう、たぶん。そう考えると、数学は私たちが作り上げていくのだ、 といえるかもしれない。

数学以外では？　それが「存在する」とは、私たちが 「存在する」とは、どういうことなのだろうか？

□ 『高校数学+α』第5章を読み終えた [math]

『高校数学＋α』第5章「平面図形 と方程式」を読み終えました。

図形の変換では(大雑把にいうと)変換前の図形が大切ということを 身をもって体感。倍変換・回転変換・y = x に関する折り返 しなどを通じて。

楕円の焦点の一方を無限遠に飛ばすと放物線になる、というのも楽しかった。 グラフが円や楕円のように閉じているか、放物線のように開いているか、 という違いはどこに現れるのだろう。双曲線の漸近線の話でも無限を扱った けれど、無限というものの扱いについてはもっと考えなければならない。

パラメータ表示の存在を知った。その意味や位置づけについて、 どこかパッとしていない。

□ 後は倍角 [math][joke]

学校で、短歌を三首書いて提出しなければならない。締切に遅れてしまった 友人が、数学の試験の後慌てて

正弦で　サインを出して　コスを出す

とまで書いたはいいが、下の句が思い浮かばない。

正弦で　サインを出して　コスを出す　最後は二人で　タンジェント

サインをコサインで割ってタンジェントを求める、ということを表現 したのだが、読んでも意味が分からない。正弦と来たからには余弦定 理を使ってみたいが、どうしようもない。

結局、

正弦で　サインを出して　コスを出す　後は倍角　サイン2シータ

となった。

□ ショパンのバラード [music]

ダン・タイ・ソンのコンサートに行って以来、 ショパンのバラードを聴いています。 ポリーニの透き通った音がいい。 流していたり、分析的に聴いたり。