2006-10-10 - Renzai の日記

□ ルソー展と陣取りゲーム・クイズ、誤っていた [math]

ルソー展と陣取りゲーム・クイズに挑戦して みました。

補足 (2006-10-21)

友人から誤りを指摘されました。3マスの盤面でも、以下のようにすれば 先手(A)必勝となります。

□□□　→　□Ａ□　→　ＢＡ□　→　ＢＡＢ　→　Ａの勝ち
あるいは
□□　　→　Ａ□　　→　ＡＢ　　→　ＡＢ　　→　Ａの勝ち
□　　　　　□　　　　　□　　　　　Ａ
※2バイト英字を使用したことをお断りしておきます。また、アスキー
アートのためずれて表示されてしまう可能性があります。

先攻の最初の1手が1マスか2マスか、で場合分けしたのですが、 残りのマスが何マスか、だけではなく、それらのマスがどのよう な配置か、ということも考慮しなければならないみたい。

考え直します。

さらに補足

解答編が 公開されました。

前提

将棋盤(9×9のマス目を持つ盤)を使って二人が陣取りゲームをする。 自分の番になったとき、空いているマス目（自分の陣地でも相手の 陣地でもないマス目）の中からいくつか選んで「自分の陣地」にする ことができる。一度に自分の陣地にできるのは、「1個」か「隣り合っ た2個」のいずれかである。隣り合った2個は縦の2個でも横の2個でも よい。パスはできない。自分の番になったとき空いているマス目が ひとつもなかったら負け。

問題

この陣取りゲームは、以下のうちどれか。

(A)先手必勝　(B)先手必敗　(C)いずれでもない

解答 - (B)先手必敗、すなわち後手必勝 (のはずです…)

先手をAとし、後手をBとします。

「…いま、小さい盤面で試してるところれふ」

という元気少女の忠告に従って、小さい盤面から少しずつマス数を増やして いって考えます。

(i) 盤が1マスの場合

• Aが1マス取って、先手必勝。

(ii) 盤が2マスの場合

• Aが2マス取って、先手必勝。

(iii) 盤が3マスの場合 - 以下のように、より小さい盤に話を 持っていけるように考えます。場合分けの仕方としては 階段の上り方クイズ (フィボナッチ数列の漸化式)に近い かもしれません ((a)と(b)が網羅的、排他的分割であることに 注意せよ)。

• (a) 第1手でAが1マス取った場合: 盤上には2マス残る。つまり、(ii)の 状態をBから始める。(ii)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• (b) 第1手でAが2マス取った場合: 盤上には1マス残る。つまり、(i)の 状態をBから始める。(i)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• Aがどのような手を取っても後手必勝なので、後手必勝。

(iv) 盤が4マスの場合

• (a) 第1手でAが1マス取った場合: 盤上には3マス残る。つまり、(iii)の 状態をBから始める。(iii)は後手必勝だから、全体としてはAの勝ち。
• (b) 第1手でAが2マス取った場合: 盤上には2マス残る。つまり、(ii)の 状態をBから始める。(ii)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• Aは第1手で1マス取っても2マス取ってもよいので、1マスとって勝 てばよい。よって先手必勝。

(v) 盤が5マスの場合

• (a) 第1手でAが1マス取った場合: 盤上には4マス残る。つまり、(iv)の 状態をBから始める。(iv)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• (b) 第1手でAが2マス取った場合: 盤上には3マス残る。つまり、(iii)の 状態をBから始める。(iii)は後手必勝だから、全体としてはAの勝ち。
• Aは第1手で1マス取っても2マス取ってもよいので、2マスとって勝 てばよい。よって先手必勝。

(vi) 盤が6マスの場合

• (a) 第1手でAが1マス取った場合: 盤上には5マス残る。つまり、(v)の 状態をBから始める。(v)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• (b) 第1手でAが2マス取った場合: 盤上には4マス残る。つまり、(iv)の 状態をBから始める。(iv)は先手必勝だから、全体としてはBの勝ち。
• Aがどのような手を取っても後手必勝なので、後手必勝。

ここまで、勝者は先手、先手、後手、先手、先手、後手と並んでいます。

• 盤が7マスのときは(iv)と同様にして先手必勝、
• 盤が8マスのときは(v)と同様にして先手必勝、
• 盤が9マスのときは(iv)と同様にして後手必勝、
• ...
• 盤が3n-2マスのときは先手必勝 (nは自然数)、
• 盤が3n-1マスのときは先手必勝、
• 盤が3nマスのときは後手必勝

となります。9×9将棋盤のマス数81は3の倍数ですから、 後手必勝。

m×nマスの場合、mまたはnが3の倍数 であれば後手必勝、それ以外は先手必勝。

骨子

まず、盤が1マスのとき先手必勝、2マスのとき先手必勝 ――これは

一度に自分の陣地にできるのは、「1個」か「隣り合っ た2個」のいずれかである

という前提から来ています。

盤が3マスのとき。Aの第1手が1マスか2マスか、という点で 場合分けをして、より小さい盤に話を持ち込む。先手が 取った後の盤面でともに先手必勝だから、後手必勝。

4マスのとき。先手が取った後の盤面で一方は先手必勝、 一方は後手必勝。Aは好きな方を選べるから、先手必勝。

5マスのとき。先手が取った後の盤面で一方は先手必勝、 一方は後手必勝。Aは好きな方を選べるから、先手必勝。

ここまでやれば、話が繰り返すということが言えるかな。

反省など

• 3時間くらいかかりました。これじゃあアイスクリームが 融けてしまいます。
• 最初のうち、ゲーム最後の数マス（79マス、80マス、81マス目） がどういう動きをするか考えていたのだが、なかなか分からない。 小さいマスで実験してみる方法を利用して、「盤面そのものを 小さくすればいいんだ」と考えついた。 実は最初「1マス、2マス、3マス、…と増やしていけばいい かも」と感じたのだが、無視してしまったのですね。

□ 『高校数学+α』 [math]

平面図形と方程式。(sinx)(siny)≧0 の示す領域を xy平面上に表す問題。xy平面が綺麗だなあと思った のはこれが初めてだったかもしれない。

□ Pelikan Grand Prix その後 [stationery]

Pelikan Grand Prix　[2006-08-06-4] にコンヴァータを付け、 Pilot の赤インキを入れて使用していましたが、半月くらい経って インキ漏れが始まりました。やむを得ず Pelikan Brilliant Red カートリッジを使用開始。今度は漏れません。 朱色がかっていてあまり赤らしくないですが、「朱いインキ」 ということで慣れるといいものです。