Renzai の日記

□ よかった探しリース 2007

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『高校数学+α』でオイラーの公式に到達できたこと。

• 宮腰忠『高校数学＋α: 基礎と論理の物語』（共立出版、2004年）  （著者のサイト）

結局、数列、微分の基礎編、発展編と読み進めていって、6月初旬にオイラーの公式の項を読んだ。 リズミカルだなと思った。その後、積分の章の途中まで読んで、今は休止。演習生活を始めている ところ。残りの章もいつか読みたいと思っている。

『+α』を読むモチベーションはいくつかあったのだけれど、一つ持っていたのは、「自分は独学する ことが可能か」という問いだった。本を選んで、それを読んで、考えて、ノートを作ったりして、 ということができるのかどうか。

そして、その独学の目標が、オイラーの公式を「理解する」ことだった（「理解する」という言葉を さらりと使っていた十数ヶ月前の自分）。

e^iπ = -1. 神秘。小学5年生のときに一目見て以来。ナツメ社の図解雑学 シリーズの本に、コラムか何かで載っていたのだと思う。そうして一応「到達」した今も、それは神秘 であり続けていて。

『+α』で勉強した1年4ヶ月くらいは、本当に楽しかった。自分が理解できるかできないかの境界にいて。

読み進める過程で追体験した、数学を構成していく、という行為の感覚は、素晴らしい。本書の第1章で の議論（公理主義とか）、そして定義その他の「拡張」ということ――まだきちんと分かってない気がす るけど――は、私の数学の見方を変えていったと思う（と同時に、別ルートでゲーデルの存在を知ったり などして、そういったものが少し相対化された。無事大学に入ったら、いくつか資料を読んでみたいと思 っている）。

これからの課題。一段落ついた今だと、そっちの方が目につく。

読んでいる時には、オイラーの公式が目標であったけれど、その周りを歩いてみたり、そこから先どうなって いるのかというところをやっていない。あと、定義を知り、定理の証明がどうして成り立つのかをチェックし ……ということを繰り返してて、それはいいんだけど、実例で考えることを怠った。

実例とか具体的な事象とかは、何らかの論理構造に数値を代入したものなのかもしれない。で、それらからなる ものもまた、数学の風景なのではないか、と思い始めている。これは、Σの計算をいくつかしていた ときに思ったこと。演習問題はある意味で具体例の提示なのか。経験を積むことでより自由を獲得していくこと もあるんじゃないかなと嗅ぎつけ始めている。

あと、本を読む過程で追体験はしたのだけれど、自分の足であちこち歩くことをあまりしていなくて、これは 結構重要な課題である。

『数学ガール』のレビューをさせていただいたこと。

• 書籍『数学ガール』
• 結城浩『数学ガール』（ソフトバンククリエイティブ、2007年）

大体今年の2月から4月くらい。PDFファイルが送られてきて、ノートを取りながら読んで。「僕」、 ミルカさん、テトラちゃんとともに――というより、憧れながら。楽しかった。レビューの時には よくわからなかった「微分と差分」も、授業中にぼーっとしながら階差をグラフにプロットしてみたら 気づいたり。

• 『数学ガール』の感想

グールドのゴルトベルク変奏曲。

伊豆の踊子[2007-01-10-2]。

クラス旅行で東北に行ってきたこと。鳴子に宿泊。温泉街を気の合う友人2人と散歩して足湯に入って、よかったなあ。 晩御飯もおいしかったし。

などなど。

□ 25+ (twentyfive plus) のノートを手に入れた [stationery]

ここ何週間か、次年度のノート構成を考えながら過ごしていた。 一時は、コピー用紙を使おうか とも考えたのだが、それでは味がなさすぎると思った。

先日、文具店のノート売り場を散策していると、ラセン綴じのA4方眼フィラーノ ートを発見した。25+ (twentyfive plus) というブランドのもの。パーティーの紙器なども作っているみたい。

メジャーなメーカー製の中で最も安かったのは、 コクヨ「フィラーノート」（A4判、5mm方眼罫、品番ス‐15SN）（去年1年間、 私も使っていた）。80ページ（40枚）で定価304円（税込）だから、1ページあ たり3.8円。

それに対し、25+ は160ページ（80枚）で 定価473円（税込）。1ページあたり2.8125円である。

これは買い、ということで何冊か買ってきた。

• 定価473円（税込）。
• 切り取った後でA4判。
• 5mm方眼罫、罫の色はグレーで、コクヨより濃い。 若干の個体差がある。
• ドイツ製。
• 筆記用紙はコクヨよりやや薄 い。ペリカン「ペリカーノ（非ジュニア）」、同「グランプリ」の万年筆で書 いたところ、コクヨに比べて少し ペン先の引っ掛かりを感じたが、すぐに気にならなくなった。
• 4穴。
• 160ページ（80枚）入り。表紙の次の紙から筆記用紙が始まる。
• ページの左右にマージン（方眼の縦罫が、同じグレーで太くなっている）が ある。左のマージンは穴から約1cm、右のマージンは紙の端から約3.5cm。
• フィラーノート形式のノートでは、表紙にまで穴が開いているのが普通。し かし25+はデザインを考慮してか、表紙に 穴が開いていない。
• ミシン目の上下端（紙の端）に切れ込みがあり、切り取りやすくなっている。
• 表紙はコクヨ「キャンパスノート」よりすこし曲げや すい程度の厚さ。
• 日本の代理店は株式会社アイハラ。

※私の行った文具店では578円で売られていたのだが、何だったのだろう……。 それにしても、コクヨより安いこと に変わりはなかったのだけれど。

□ 春休み中に読んだ本 [book]

• 松岡正剛『17歳のための世界と日本の見方―セイゴオ先生の人間文化講義』
• トマス・ブルフィンチ『ギリシア・ローマ神話―付インド・北欧神話』 （野上弥生子訳）: 読んだのはこれ の岩波少年文庫版（上下2冊）。それらは品切れ重版未定のようです。
• 吉野源三郎『君たちはどう生きるか』
• 芥川龍之介『羅生門・鼻・芋粥・偸盗』

□ 日ページの出力をやめました [changelog]

更新時間の短縮化のためです。

□ 恒等式―数値代入法，十分性の確認は不要のはず [math]

（句読点をコンマ・ピリオドで書いてみました．数学のノートは いつもコンマ・ピリオドなので）

学校の授業で恒等式を扱った．しかし問題の解法に妙な点があり， どうも，それは（結構）大事なところに関わっているようだった． で，そのことについて友人と議論していて，結局友人が結論に 辿りついた．

まず，恒等式についておさらい：

定義　等式が任意の値の x について成り立つとき， その等式を x についての恒等式という．

定理1　x についての整式 P, Q がある． このとき，

P = Q が恒等式である ⇔ P, Q の同次の項の係数は等しい．

さて，恒等式の練習問題に次のようなものがある：

等式 2x + 3 = (a + b)x²  - (a - c)x - c がx についての 恒等式であるように，定数 a, b, c の値 を定めよ．

この問題の定番解法は，ふたつある．

ひとつは，未定係数法．定理1により，等式が恒等式 であるとき，左辺と右辺で，同次の項の係数は等しい．このことから a, b, c の連立方程式をたてて解く，という 方法である．

もうひとつの数値代入法が，今回のテーマである．数値代入法 を用いた一般的な答案は，次のような流れになる．

(1)必要条件を求める：与えられた n 次の等式が恒等式であるなら ば，任意の値の x について成り立つ．このことから，等式に (n + 1) 個の異なる値の x を代入し， a, b, c の連立方程式をたてて，解く．

(2)十分性の確認：得られた a, b, cを与えられた 等式の左辺に代入する．左辺と右辺で，同次の項の係数が等しいことを 確認する．

ここでいくつかの疑問が湧く：なぜ (n + 1) 個なのか．なぜ (2) のステップが必要なのか．

おそらく，(n + 1) というのは，次の定理に基づいている と思われる．これは教科書にも載っている定理である：

定理2　P, Q は x についての高々 n 次の整式 である．P = Q が異なる (n + 1) 個の値の x について 成立するならば，P = Q は　x についての恒等式である （「ことが知られている」―教科書）．

(2)のステップはなぜ必要なのだろうか．これについては，普通次のような 説明がなされる：

異なる (n + 1) 個の値の x について等式が成り立つ ことを確認しただけで，ほかの値の x についても成り立つか どうか，分からない．だから，得られた定数の値を等式に代入して， 左辺と右辺で，同次の項の係数が等しいことを確認する．

ところが，定理2によれば，異なる (n + 1) 個の値の x に ついて成立するならば，x についての恒等式である，と言い切れる ではないか．ついでに言うと，x についての恒等式であるならば， 恒等式の定義により，異なる (n + 1) 個の値の x について 成立するのは自明である．よって，この2条件は同値である．

したがって，数値代入法のステップは要らないことが分かった．

数値代入法における（不要な）十分性の確認は，いろいろな本に載って いる．また，定理2もいろいろな本に載っている．

「赤チャート」では，「十分性の確認をしてもよいし，『定理2により 等式は恒等式である』という意味のことを書いてもよい」というふうに なっていて，よく分からない（後者に言及している点では 評価できるけれど）．

でも，教科書にも載っている定理で，それが要らないことが示せ る．これって，どういうことなんだろう．

□ 川端康成『伊豆の踊子・温泉宿 他四篇』 [book]

川端康成『伊豆の踊子・温泉宿 他四篇』（岩波文庫）を読む。 大正から昭和初期の、ほのかな旅情がいい。

□ 夏目漱石『夢十夜』 [book]

夏目漱石『夢十夜』（青空文庫）を読む。 不思議な感じがいいなあ。

□ 明けました、おめでとうございます（グレゴリオ暦）

　正月一日は、まいて空のけしきもうらうらと、めづらしうかすみ こめたるに、世にありとある人は、みなすがたかたち心ことにつく ろひ、君をも我をもいはひなどしたる、さまことにおかし。

― 『枕草子』

□ 『高数＋α』第8章読了 [math]

宮腰忠『高校数学＋α: 基礎と論理の物語』(共立出版、2004年)  (著者のサイト) の第8章「空間ベクトル」を読了。年内に終える予定だったのだが、 翌年の元日までかかってしまいました。

□ 年越し企画―アポロニウスを偲ぶ [math]

宮腰忠『高校数学＋α: 基礎と論理の物語』(共立出版、2004年)  (著者のサイト)。 第7章「平面ベクトル」を読み終え、第8章「空間ベクトル」 を読んでいる。割と速いペースで。

ベクトルの勉強を始める段階では、幾何ベクトルと数ベクトルは別の体系で ある、ということを理解するのが重要だと思う。幾何ベクトルは、 大きさと向きを持つ量のこと（大きさとは何？　向きとは？　 自問してみよう）。数ベクトルは、数の組合せ。それらを繋ぐのが座標平面。

教科書などでは、成分表示は幾何ベクトルを座標平面に描く手段、といった 扱いで、分かりにくくなっている（実際、 『＋α』 を読むまで頭の中がスパゲッティだった）。

さて、円錐面のを平面で切った切り口は円・楕円・放物線・双曲線になる。 ギリシアの数学者アポロニウスは、コンパスと定規だけでそれを研究した という。

興味をもった人はこのことを確かめることによって，偉大な先人を偲びま しょう．

というわけで、大晦日特別企画「アポロニウスを偲ぶ」。

円錐面を平面で切る、という操作を方程式で表現するには (i) z 軸を回転軸に円錐面をとって、平面を傾ける、(ii) 平面を z = 0 で固定し、円錐を傾ける、という2通りの方法がある。今回は 『＋α』 にある通り、(ii)の方法でいく。

円錐面の方程式を作り、z = 0 を代入。切り口の方程式ができる。 三角関数がたくさん。どうも、一般的な角について示すのはたいへ んと見えるので、角度は具体的な値で計算することにした。

角度の値を代入する。……なんとか4通りできた。 よかったよかった（これで安心してちゃ駄目だけど）。

今回得た知見：双曲線の方程式を (x² / a²)  - (y² / b²) = k としたとき、右辺の k は負になることがある。式の立て方によって。